沈陽二中 劉銳

　　在備考的后期，適度的處理一些對你構(gòu)成挑戰(zhàn)性的問題是有益的。本文在G·波利亞圍繞問題解決過程設(shè)計的一段師生對話的基礎(chǔ)上，添加了更具高中特征的一些內(nèi)容，同時刪除了一些關(guān)于更深入的解題過程的議論，試圖闡釋高中階段具有挑戰(zhàn)性的數(shù)學(xué)問題解決的工作環(huán)節(jié)及其思維的發(fā)展脈絡(luò)。

　　一、熟悉問題

　　(“S”代表學(xué)生，“T”代表老師，下同)

　　S: 我應(yīng)該從哪兒開始？

　　T: 從問題的敘述開始。

　　S: 我能做什么？

　　T: 觀察揣摩整個問題，盡量使其清晰而鮮明?？梢詴簳r拋開細(xì)節(jié)。

　　S:這樣做，我能得到什么好處？

　　T: 你會明白問題，使自己熟悉問題，并把問題的目標(biāo)牢記在腦海中。這樣全神貫注地對待問題也會調(diào)動你的記憶力，做好準(zhǔn)備去重新聯(lián)想與問題有關(guān)的各點。

　　二、深入理解問題

　　S: 我應(yīng)該從哪兒開始？

　　T: 還是從問題的敘述開始。當(dāng)你對問題的敘述已清楚地印入腦海，以致你即使暫時不去看它，你也不怕把它忘掉時，你就可以開始下面的工作了。

　　S: 我能做什么？

　　T: 先把問題的主要部分剖析出來。未知數(shù)是什么？已知數(shù)據(jù)(包括已知數(shù)、已知圖形和已知事項等)是什么？條件是什么？畫張圖。并引入適當(dāng)?shù)姆枴?/P>

　　S: 這樣做，我能得到什么好處？

　　T: 你會準(zhǔn)備好并弄清楚以后可能起作用的細(xì)節(jié)。

　　三、探索有益的念頭

　　S: 我應(yīng)該從哪兒開始？

　　T: 從考慮問題的主要部分開始。如求解問題的未知、已知與條件；求證問題的前提與結(jié)論。

　　S: 怎樣進行？

　　T: 首先從各個方面考慮你的問題。分別突出各個部分，考察各個細(xì)節(jié)，用不同的方式審查同一細(xì)節(jié)。試著在每一個細(xì)節(jié)發(fā)現(xiàn)某些新意義。把細(xì)節(jié)用不同的方式組合起來，從不同的角度考慮它，嘗試在整個問題中得到某些新解釋。其次試圖找出與你現(xiàn)有知識和解題方面的經(jīng)驗等有關(guān)的內(nèi)容。試想過去在類似的情況下有什么曾幫過你的忙。并按照如下的次序提出以下問題：

　　①你以前見過它嗎？你是否見過相同的問題而形式稍有不同？

　　②看著未知數(shù)！試想出一個具有相同未知數(shù)或相似未知數(shù)的熟悉問題。

　　③這里有一個與你現(xiàn)在的問題有關(guān)且早已解決的問題。你能不能利用它？你能利用它的結(jié)果嗎？你能利用它的方法嗎？為了利用它，你是否應(yīng)該引入某些輔助元素？

　?、苣隳懿荒苤匦聰⑹鲞@個問題？你能不能用不同的方式重新敘述它？利用普遍化、特殊化、類比、舍去一部分限制等手段了嗎？

　　⑤回到定義去！

　　⑥你是否利用了所有的已知數(shù)據(jù)？你是否利用了所有條件？

　　等等……

　　S: 你能告訴我這六個提問的設(shè)計意圖嗎？

　　T: 問題①和②的設(shè)計旨在找尋在過去解題過程中與現(xiàn)有問題相同或相似的問題，不過兩者還是有區(qū)別的，前者是從整個問題的角度尋求相同或相似的問題，后者是從問題的主要部分上來找尋相同或相似的問題。

　　問題③是在找到與現(xiàn)在的問題有關(guān)且早已解決的問題時，我們又應(yīng)如何利用？值得注意的是，這里可以利用的應(yīng)含括三個方面：原問題的結(jié)果、方法以及結(jié)果和方法同時使用。

　　通常問題①②③能激起一連串正確的想法，但它們也不是萬靈的。一旦上述三個問題的提問沒有實質(zhì)性的突破，這時我們不得不變化、變換我們的問題，問題④就是在這樣的背景下提出來的。

　　當(dāng)我們陷入更為被動的狀態(tài)時，我們通過提出問題⑤，以其獲得原問題更為準(zhǔn)確或新的角度的認(rèn)識。

　　問題⑥的提出位置應(yīng)該放置在熟悉和理解問題的環(huán)節(jié)上，這里提出來是防止我們陷入對問題的某個部分或細(xì)節(jié)的過度關(guān)注，以致顧此失彼。

　　四、實現(xiàn)計劃

　　S: 我應(yīng)該從哪兒開始？

　　T: 從剛剛構(gòu)建的思路開始。當(dāng)你感到你已清楚要做的主要工作，并且自信能提供可能需要的運算與論證，就可以開始工作了。

　　S: 怎樣進行？

　　T: 詳細(xì)地進行你以前認(rèn)為可行的代數(shù)運算和幾何運算。如果你的問題很復(fù)雜，可以分成“大”步驟和“小”步驟，每一大步驟又由幾個小步驟組成。首先檢查大步驟，以后再檢驗小步驟。

　　五、回顧

　　S: 我應(yīng)該從哪兒開始？

　　T: 從解答開始，它的每一個細(xì)節(jié)都應(yīng)該是完整而正確的。

　　S: 怎樣進行？

　　T: 從各個方面考慮這個解，找出與你已有知識之間的聯(lián)系。

　　考慮解的細(xì)節(jié)，研究每一個細(xì)節(jié)的正確性；并嘗試使它們盡可能的簡單；研究解答中較冗長的部分，使它們更短些；試著一眼就看出整個解。

　　試著去改進解的各部分，使它直觀。

　　總結(jié)你解題的方法，嘗試看出它的要點，并且嘗試把它用于其他問題。

　　總結(jié)所得結(jié)果并試著用于其他的問題。

　　S: 這樣做，我能有什么好處？

　　T: 你可能找出一個新的更好的解，你可能發(fā)現(xiàn)新的有趣的事實。無論如何，如果用這個方式養(yǎng)成研究與總結(jié)你的解的習(xí)慣，你將獲得某些井然有序的、便于應(yīng)用的知識，并且將會極大地提升你的解題能力。